Une vie

"Олимпиадная" - значит годящаяся для олимпиады. Откуда она на самом деле, я не знаю.

На плоскости имеется n прямых. Каждая из них пересекает одно и то же число прямых, m. Найти n в зависимости от m. (Найти все решения при данном m).

Комменты скрываются.

Открыл

Решение в моей формулировке (в комментах есть другие формулировки того же):

Назовём p-пучком n параллельных прямых. Пусть у нас будет k пучков размером p_1, ..., p_m. Каждый будет пересекать все другие пучки - k-1 пучок, т.е. в сумме SUM_1^(k-1) p_i прямых, что равно общему числу прямых минус мощность данного пучка.

Чтобы каждая прямая пересекала одинаковое число других, нужно, чтобы вычитаемые p_i были одинаковы, т.е. все пучки одинаковой мощности, назовём её  p.

Тогда в такой конфигурации  каждая прямая будет пересекать k-1 пучок по p прямых в каждом, т.е. p(k-1) других прямых. (Всего прямых -  pk, это и есть искомое n).

У нас задано число пересечений, т.е. m= (k-1) p

Например, возьмём m=90. Тогда возможные факторизации, в которых порядок множителей важен, так как они по-разному интерпретируются: первый – число пучков минус 1, второй – мощность каждого пучка:

1x90, 2х45, 3x30, 9x10, 5x18, а также 45x2, 30x3, 10x9, 18x5, 90х1, что соответствует вариантам:

2 пучка по 90 параллельных прямых        180 прямых
3 пучка по 45 параллельных прямых        135 прямых
4 пучка по 30 параллельных прямых        120 прямых
10 пучков по 10 параллельных прямых    100 пряых
6 пучков по 18 параллельных прямых      108 прямых
46 пучков по 2 параллельных прямых      92 прямых
31 пучок по 3 параллельных прямых        93 прямых
11  пучков по 9 параллельных прямых     99 прямых
19 пучков по 5 параллельных прямых      95 прямых
91 непараллельная прямая                        91 прямая

Если число пересечений m – простое, то есть всего два решения:  m+1 непараллельных прямых или 2 пучка по m параллельных прямых.
Я впервые вижу такую замечательную связь геометрии и арифметики, где число решений зависит от числа разных факторизаций.

Если спрашивать только про число прямых, а не про конфигурацию, то можно выразить результат как n=m+q, где q - делитель числа m (в число делителей включается и само число m, и 1).